《智能駕駛之激光雷達(dá)算法詳解》空間變換數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

jinchanchanwaji

下面介紹一些坐標(biāo)系歐氏變換的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

在進(jìn)行激光雷達(dá)的外參標(biāo)定時(shí)，我們實(shí)際上是求解激光雷達(dá)坐標(biāo)系相對車體坐標(biāo)系的姿態(tài)和相對位置；在進(jìn)行車輛定位時(shí)，我們通常是在求解車體坐標(biāo)系的相對變化量及其相對世界參考坐標(biāo)系的變化量。這兩個(gè)坐標(biāo)系之間的位置和姿態(tài)變化構(gòu)成了歐氏變換。其中，姿態(tài)描述的是一個(gè)坐標(biāo)系的軸系相對另一個(gè)坐標(biāo)系軸系的旋轉(zhuǎn)或方向關(guān)系，相對位置描述的是一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)相對另一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的平移關(guān)系。

1.1、旋轉(zhuǎn)和平移變換

首先考慮兩坐標(biāo)系間具有共同原點(diǎn)且僅有相對旋轉(zhuǎn)的情況。則點(diǎn)P的坐標(biāo)系1和坐標(biāo)系2下的三維向量可分別表示為

=

=

結(jié)合假設(shè)兩坐標(biāo)系的單位正交基分別為；。以及坐標(biāo)系2在坐標(biāo)系1下單位正交基的投影關(guān)系最終可得

=

其中旋轉(zhuǎn)矩陣=

我們可以進(jìn)一步分析得到旋轉(zhuǎn)矩陣是行列式為1的正交陣，因此旋轉(zhuǎn)矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣的相乘結(jié)果為單位陣E，所以,所以

再進(jìn)一步可以看出物體相對于坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)軸相對于物體的等角度反向旋轉(zhuǎn)在描述上是等效的。

齊次矩陣則是考慮了兩坐標(biāo)系間同時(shí)具有旋轉(zhuǎn)和平移的情況。最終可得。

1.2、旋轉(zhuǎn)的歐拉角表示

在使用旋轉(zhuǎn)矩陣R表示三維空間中的旋轉(zhuǎn)和姿態(tài)時(shí)，共需要9個(gè)變量來表示，而對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)本身則通常只有3個(gè)自由度。這種表達(dá)明顯帶來參數(shù)冗余，使得求解復(fù)雜。所以采用歐拉角姿態(tài)表示。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸順序的不同，歐拉角有多種形式。以RPY為例，繞X軸旋轉(zhuǎn)角稱為翻滾角R，繞Y軸旋轉(zhuǎn)角稱為俯仰角P，繞Z軸旋轉(zhuǎn)角稱為Y。歐拉角描述的空間旋轉(zhuǎn)與其轉(zhuǎn)動(dòng)順序強(qiáng)相關(guān)，且歐拉角的三個(gè)分量不具有互換性，在求解RPY的逆變換時(shí)，不能僅對角度取負(fù)實(shí)現(xiàn)，而應(yīng)該按照相反的旋轉(zhuǎn)順序反轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度。當(dāng)俯仰角pitch=時(shí)，歐拉角描述的旋轉(zhuǎn)存在奇異性，此時(shí)滾動(dòng)角和領(lǐng)航角無法區(qū)分，其描述的旋轉(zhuǎn)會(huì)出現(xiàn)退化現(xiàn)象，稱為歐拉角的萬向鎖現(xiàn)象。所以在優(yōu)化和濾波等迭代算法中通常不使用歐拉角表示較大的旋轉(zhuǎn)變換。

1.3、旋轉(zhuǎn)的軸角表示/旋轉(zhuǎn)向量表示

旋轉(zhuǎn)向量到旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

1.4、旋轉(zhuǎn)的單位四元數(shù)表示

四元數(shù)是將二維空間中的復(fù)數(shù)擴(kuò)展至三維空間中得到的超復(fù)數(shù)：

i,j,k為虛數(shù)單位，分別對應(yīng)坐標(biāo)系的三個(gè)軸，并滿足

采用矢量形式表示為

2.1 李群、李代數(shù)

為簡化位姿估計(jì)相關(guān)的求解過程，引入李群和李代數(shù)。

群通常表示為由有限或無限個(gè)元素構(gòu)成的集合加上一種運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。具有群結(jié)構(gòu)的光滑微分流形為李群，即若G為一個(gè)群，同時(shí)它又是D維空間的一個(gè)流形，并且其群乘積和取逆操作都是平滑函數(shù)，則G為一個(gè)李群。李代數(shù)是一個(gè)由集合V，數(shù)域F和一個(gè)李括號(hào)運(yùn)算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，用于表示被賦予李括號(hào)運(yùn)算的線性空間。在三維空間中，向量的叉乘運(yùn)算即為該空間的李括號(hào)運(yùn)算，所以李代數(shù)實(shí)際上是李群在其幺元處的切空間，它能夠完全捕獲李群的局部結(jié)構(gòu)，并且李群M，李代數(shù)m可表示為。之后可通過李群和李代數(shù)的映射關(guān)系將流形空間中待求解的問題表示成對應(yīng)的線性空間的李代數(shù)結(jié)構(gòu)，從而使得利用線性空間中的模型和算法成為可能。

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